On peut lire témoignage de ce choc chez Hermann Weyl ou chez Von Neumann .

Il existe des textes où on peut lire leur grand désarroi à travers des confessions de ce type: je suis devenu mathématicien car c’était ma religion, je croyais en la vérité absolue, là était la beauté, le monde réel était affreux, mais je me suis réfugié dans la théorie des nombres. Et tout à coup Gödel a surgit et a ruiné toute chose et je veux me tuer.

Bon tout cela est délicieusement angoissant . Cependant cette

                        « cette proposition est non démontrable »

est une assertion qui semble bien étrange. Il y a bien des façons de rationaliser et assurément l’être humain est très bon à ce petit jeu ne serait-ce que pour ne pas se retrouver face à des réalités déplaisantes. On pourrait croire que ces réalités déplaisantes peuvent facilement se contourner : il suffirait seulement de dire, mais enfin qui donc s’en préoccupe : les assertions normalement utilisées en mathématique n’ont pas cette forme. C’est un non-sens et une stupidité totale d’aller dans ce genre de direction. Mais ceci n’est qu’une incantation car Gödel a fait de

                        « cette proposition est non-démontrable »

une assertion élémentaire de la théorie des nombres .

Bien sûr, dans sa forme originale elle paraît être un non-sens.

Qui, en effet, a jamais entendu dire qu’une assertion en mathématique dit d’elle-même qu’elle est non-démontrable ?

Mais en fait Gödel transforma cette proposition en une assertion numérique élémentaire de la théorie des nombres, en arithmétique.

Cela devient une assertion d’un énorme volume, qui de façon très astucieuse, implique la numérotation de Gödel de toutes les assertions utilisant les entiers premiers.

Elle est donc récrite de telle façon à ressembler à une assertion mathématique réelle.

Mais elle se réfère réellement de façon indirecte à elle-même et dit qu’elle est non-démontrable.

Et c’est pour cela qu’il y a problème.

Mais la plupart des gens ne savaient pas quoi faire de cela. Donc disons que c’était un résultat surprenant où en fait la surprise correspond à un choc terrible.

Résumons.

                        1931 Gödel « cette proposition est non-démontrable » surprise.

Puis est arrivé Turing.

                        1936 Turing

Il commence lui, le premier à parler d’ordinateur.

                        1936 Turing ordinateur

Turing a dû inventer l’ordinateur puisque Hilbert parlait d’utiliser obligatoirement des procédures mécaniques pour vérifier les preuves mathématiques. Turing se disait que ce dont Hilbert parlait doit être un programme d’ordinateur pour vérifier les preuves. Mais d’abord il fallait à Turing spécifier ce qu’était un ordinateur et c’est exactement ce qu’il y a dans sa publication de 1936 et c’est la machine de Turing, à une époque où il n’existait pas d’ordinateur ! On peut dire que c’est de l’invention, sur le papier, de l’ordinateur qu’il s’agit.

Ce que Turing a montré en fait c’est qu’il existe des assertions concrètes qui échappent à la puissance des mathématiques. Actuellement , on pense aux ordinateurs en tant qu’appareils physiques et donc ils ressemblent aux objets physiques. C’est en fait une machine qui va au-delà, c’est une idéalisation du travail physique et nous avons donc cette machine qui marche vraiment et Turing tombe alors sur le problème de son arrêt.

                        1936 Turing ordinateur Le problème de l’arrêt

Le problème de l’arrêt dit qu’il n’y a aucun moyen de savoir si, éventuellement, un programme d’ordinateur s’arrêtera.

Actuellement, cela est la chose la plus facile au monde pour décider si un programme s’arrête. On l’exécute et quand on devient fou de rage à force d’attendre, on y est, ça ne s’arrête pas tant que notre rage dure. Qui se préoccupe de la longueur de l’attente. Mais ce que Turing a montré c’est qu’il y a vraiment un problème si on ne met pas une limite de temps à notre attente. Ceci est de la mathématique très abstraite car dans la vie réelle, il y a toujours une limite de temps. On ne peut pas exécuter un programme pendant un million d’année, encore moins pendant un milliard d’années et que dire d’un temps de 10 ¹⁰¹⁰⁰ années ! Donc si on met une limite de temps, le problème de l’arrêt est trivialement résolu et se décide facilement toujours en principe : il n’y a qu’à l’exécuter et voir s’il s’arrête ou non avant le temps limite qu’on s’est donné. Mais si on ne se donne plus de temps limite, il n’y a aucune solution. Il n’y a pas moyen de décider à l’avance si un programme d’ordinateur va s’arrêter ou non. Il en découle alors qu’il n’existe aucun ensemble mathématique d’axiomes au sens de Hilbert capable de prouver qu’un programme d’ordinateur s’arrête ou non.

Car si on pouvait prouver qu’un programme s’arrête ou non, alors ceci implique qu’on peut exécuter toutes les preuves possibles rangés par ordre de longueur et vérifier qu’elles sont correctes et éventuellement soit trouver une preuve que le programme va s’arrêter ou trouver une preuve qu’il ne va pas s’arrêter.

Actuellement et en pratique, exécuter toutes les preuves possibles exige une quantité de temps astronomique. Imaginons combien, déjà, il y a de preuves de la longueur d’une seule page seulement ! On ne peut en arriver au bout ! Mais en principe conformément au système axiomatique formel de Hilbert on peut exécuter toutes les preuves possibles rangées par ordre de taille et s’assurer qu’elles vérifient ou non les règles. Donc si on dispose d’une axiomatisation formelle des mathématiques qui nous permette de prouver qu’un programme s’arrête ou non cela donnerait justement une procédure mécanique en exécutant toutes les preuves possibles rangées par ordre de taille et de décider si un programme s‘arrête ou non.

Turing a montré qu’on ne peut pas faire cela.

Sa preuve utilise l’argument diagonal de Cantor. Toutes ces idées sont connectées entre elles.

On voit que le travail de Turing trace les limites des mathématiques de façon plus naturelle parce qu’il est question d’un appareil physique, d’un ordinateur.

                        1936 Turing ordinateur Problème de l’Arrêt naturel

On peut fantasmer un peu et transformer notre ordinateur physique en une machine théorique .

Il suffit d’imaginer un ordinateur qui ne tombe jamais en panne, qui peut exécuter indéfiniment des instructions et qui possède des moyens de stockage aussi grands qu’il le souhaite de sorte que si les nombres deviennent trop grands il peut néanmoins continuer à calculer (remarquons au passage que c’est exactement vers ce genre de performances que tend toute la technologie des ordinateurs (et partant, toute la technologie tout court) à des coûts de plus en bas et donc de plus en plus réalisables et généralisables - on pourrait même risquer de dire que la course aux performances est une théorisation de la réalité-).

Les limites détectées par Turing apparaissent plus sérieuses et plus dangereuses que celle découvertes par Gödel

 

Oups ! Une  machine formelle à poser et à résoudre tous les problèmes ?

 

Tout est déjà là, dés le début, en 1936.

L’invention de l’ordinateur est une réponse à un argument théorique fou.

On n’a certes pas en jeu les milliards de dollars de la technologie en 1936 , mais les jeux sont faits, tout est posé, à l’état embryonnaire bien sûr, dans cet article de 1936 !

Von Neumann lui, l’avait vu : la machine universelle de Turing s’identifie à la machine programmable capable de prendre en charge par le calcul n’importe quel problème .

Il existait, bien sûr, déjà bien avant Turing des machines à résoudre des problèmes par le calcul, mais ces machines ne prenaient en charge par le calcul qu’un type très spécifique de problèmes.

Ce n’est pas pour rien que John Von Neumann eut l’idée du logiciel et fut le premier programmeur de l’histoire de l’informatique, il a su voir cette flexibilité, cette notion potentielle d’universalité du calcul de la machine de Turing.

Toute la Technologie est là, en condensé.

Et, en fait, Gödel comme on l’a dit précédemment utilisait dans la démonstration de son fameux théorème une sorte de LISP où se cache un véritable langage formel, un langage de programmation, quoi !

Dans le papier de Turing, c’est plus explicitement que le langage de programmation est donné et c’est d’ailleurs un authentique langage machine.

Bien sûr, maintenant le langage machine est mal vu, un langage dont personne d’équilibré ne voudrait pour programmer. On peut se rendre compte maintenant que si Turing avait utilisé un langage plus complexe, il aurait été obligé d’introduire un relais supplémentaire constitué par un manuel minimal d’utilisation de ce langage dans le papier de 1936, et que donc personne n’aurait rien compris à son véritable résultat de calculabilité.

Qu’en est-il actuellement et qui se préoccupe vraiment des problèmes de fond de la mathématique ?

Hilbert est mort, la II ^ème guerre est passée et le monde va dans des directions de moins en moins philosophiques. D’ailleurs les questions philosophiques de fond ont tendance à moins intéresser depuis qu’on voit de jeunes morveux devenir milliardaires juste en démarrant des starts-up sur le Web !

Ce qui est insupportable en fait, c’est que même dans le monde abstrait des mathématiques pures, les mathématiciens eux-mêmes affirment que dans la pratique ils font exactement de la même façon ce qu’ils ont toujours fait, et qu’en définitive tout cela ne s’applique pas aux problèmes qui les préoccupent !

Ce fut typiquement la même réaction à l’époque de Gödel et Turing face à leurs travaux sur l’incomplétude.

Au début ce fut un choc terrible, puis c’est passé à l’autre extrême.

On dirait de cette amnésie une technique névrotique compensatrice de l’espace mental que Freud a tenté de si bien expliquer.

Les conséquences de ces résultats sont soigneusement refoulées ou noyées dans un verbiage théologique où l’incantatoire prend si facilement le pas sur le rythme d’un débat qui n’en est pas un.

 

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