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Poincaré, le grand mathématicien Français parle lui de désastre à propos de cette théorie , Kroneker lui traite carrément Cantor de corrupteur de la jeunesse ! Mais la topologie moderne et un grand nombre parmi les résultats de mathématique les plus abstraits du 20 ème siècle en découlent directement en tant que généralisations. En fait on peut dire que la mathématique du 19 ème siècle était moins abstraite et plus concernée par les cas spéciaux et les formules comme les séries infinies de Taylor par exemple.

La mathématique du 20 ème siècle est arrivée au niveau d’abstraction des ensembles théoriques.

Cela est dû pour une part à Cantor qui est accusé d’avoir fait perdre sa partie concrète aux mathématiques en passant par exemple de l’analyse pure et dure à l’analyse théorique !

En fait ceci est très controversé.

Et, ce qui n’aide pas beaucoup, non seulement nous sommes en pleine controverse mais en fait nous avons aussi des contradictions.

Et c’est là plus qu’une simple opinion.

Il existe certains cas où on ne peut pas ne pas être gravement troublé par le non-sens obtenu.

Ainsi il existe un théorème de Cantor qui dit que pour tout ensemble infini, il existe un ensemble infini plus grand qui est l’ensemble de tous les sous-ensembles de cet ensemble , ce qui semble résonner de façon très raisonnable.

C’est le fameux argument diagonal de Cantor.

Argument diagonal de Cantor

Soit N l’ensemble des entiers naturels qui est infini et dénombrable.

Alors Cantor a prouvé un théorème qui dit que

Théorème :

 

L’ensemble 2 N est non-dénombrable.

(où 2 N est l’ensemble de tous les sous-ensembles de N)

Preuve :

Supposons que 2 N est infini et dénombrable alors on peut le mettre en bijection avec N. On peut alors mettre en correspondance les éléments de N et les élément de 2 N c’est à dire qu’on peut NUMEROTER les éléments de 2 N, la numérotation serait biunivoque et formellement alors :

il existerait une application bijective

f : N 2 N

et donc on pourrait numéroter 2 N

de la façon suivante 2 N={S0 , S1 , S2 ,. . . }

où Si =f(i) pour tout iN.

Considérons alors l’ensemble suivant

D={nN : n Sn }

autrement dit D est un ensemble d’entiers naturels

ce pourrait être donc un certain sous-ensemble S k pour un certain nombre naturel k.

posons donc D= S k

Maintenant posons-nous la question de savoir si k peut être dans S k c’est à dire si k S

(1) supposons que oui

k S k de par la définition de D il s’en suit que k ne peut appartenir à D={nN : n Sn }

mais D= S k et donc k S k est une contradiction. (2°) Maintenant supposons que k S k; alors k appartient à D mais D lui-même n’est autre que S k 
Donc k est dans S k  est une autre contradiction.

Comme ni(1) ni(2) ne peut être possible l’hypothèse que D= S k  pour un certain k doit être une erreur . Donc 2 N est non dénombrable

 

Récapitulons pour voir comment fonctionne le principe de la diagonalisation. L’ensemble D est en fait un ensemble diagonal pour la relation : R={(i,j) : jf(i) }

comme Si =f(i) , l’ensemble R i ={j :(i,j) R} est tout simplement Si. Maintenant on s’attend à ce que D diffère de tous les ensembles R i

c’est à dire de tous les Si et c’est ceci justement qui sera prouvé par contradiction. Comme D est différent de chaque Si , D f(N) et donc l’hypothèse que f était une bijection est hypothèse incorrecte

On a donc prouvé qu’il existe un sous-ensemble de N qu’il n’est pas possible de numéroter. Que donc N et 2 N ne peuvent pas être isomorphes et malgré que N soit infini on a prouvé que 2 N contient strictement plus d’éléments et est en quelque sorte plus grand .

 

Paradoxalement votre

Donc si on est convaincu de cela, que se passe-t-il si on applique le théorème à l’ensemble Universel ?L’ensemble Universel est l’ensemble toute chose; c’est l’ensemble dont la fonction caractéristique des éléments est 1 pour tout objet .

Tout objet appartient à cet ensemble.

En considérant l’ensemble de tous les sous-ensembles de cet ensemble Bertrand Russell a détecté un fameux problème.

Bertrand Russell

On peut penser que Cantor avait aussi remarqué ce problème mais Bertrand Russell en a fait la mauvaise publicité en le dévoilant à tout le monde .Selon Gödel c’est bien Russell qui a détecté qu’il y avait une crise sérieuse..

Le désastre détecté par Russell dans la démonstration de cette preuve de Cantor était que tous les ensembles qui étaient membres d’eux-mêmes étaient exclus de la partie cruciale de la preuve. Il paraissait donc raisonnable de considérer tous les ensembles qui n’étaient pas membres d’eux-mêmes pour définir un ensemble, mais si on se pose la question à savoir si l’ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d’eux-mêmes y est ou non et quoiqu’on suppose, on obtient toujours l’opposé !C’est une contraction comme celle qui dit « cette assertion est fausse ».

L’ensemble de tous les ensembles ne se contenant pas eux-mêmes est contenu dans lui-même si et seulement si il n’est pas contenu en lui-même.

Alors est-ce que cela signifie que la façon de définir les ensembles est mauvaise ou est-ce que c’est l’ensemble universel qui nous laisse perplexe ?

Et qu’y a-t-il donc de mauvais dans l’ensemble universel ?

Ou bien il y aurait peut-être bien un problème plutôt avec la théorie des ensembles.

On doit à Bertrand Russell d’avoir aidé à reconnaître qu’on était en pleine crise et que les méthodes de raisonnement qui semblaient à première vue parfaitement légitimes dans certains cas conduisaient vers un désastre flagrant, vers des contradictions.

Il eut des paradoxes principalement cités par Russell : celui que l’on vient de mentionner, le paradoxe de Berry, le paradoxe de Burali-Forti.

En Résumé, nous sommes donc bel et bien en pleine crise et l’un des personnage centraux de cette crise est Bertrand Russell.

Il faut que quelqu’un vienne à la rescousse.

Et c’est là que David Hilbert entre en scène.

David Hilbert

Au contraire du grand mathématicien Français, Poincaré, Hilbert le grand mathématicien Allemand aimait la théorie des ensembles. Hilbert eut donc l’idée de résoudre une fois pour toute tous ces problèmes.

La façon de faire de Hilbert, c’est dire l’utilisation de l’axiomatique remonte à l’origine, en fait, à Euclide avec ses fameux postulats.

Hilbert ne l’a pas inventé. Mais il y a ajouté un pas significatif de plus.

Hilbert :Méthode Axiomatique Formelle

Hilbert dit qu’il faut utiliser toute la technique de la logique symbolique, dont beaucoup de ses collègues mathématiciens étaient partie prenante soit comme utilisateurs soit comme inventeurs, et proposait d’aller aux conséquences ultimes de l’utilisation d’une telle logique symbolique.

Puisque ce qui jette le trouble et la contraction en mathématique avec la théorie des ensembles est l’utilisation de mots et que les mots peuvent être très vagues, Hilbert propose un ensemble fini d’axiomes et un langage artificiel pour faire des mathématiques.

C’est ceci qui est l’idée du formalisme.

Formalisme quand tu nous tiens

En poussant le formalisme à sa limite et en inventant un langage complètement artificiel avec des règles du jeu extrêmement précises, Hilbert pensait éliminer tous ces problèmes comme ceux détectés Russell.

C’était un véritable programme très ambitieux..

Hilbert ajoutait, et c’est l’une des contributions majeures de son apport :

ces règles doivent être si précises que l’on pourrait avoir un vérificateur mécanique de ces preuves. Donc il est complètement certain, objectif et mécanique que la preuve obéit ou non uniquement aux règles. Il ne doit pas y avoir d’élément humain, d’élément subjectif et il n’est pas question d’interpréter.

Si on déclare qu’on a une preuve, on doit pouvoir voir la preuve et la vérifier de façon absolument très claire, de façon mécanique : ou la preuve obéit aux règles, et on a un théorème, ou bien la preuve a une erreur et c’est un échec.

C’était donc l’idée que, pour les mathématiques, un objet ne pouvait être que noir ou blanc.

Noir ou Blanc

On le sait, le mondes réel est plus compliqué et on peut penser légitiment que s’il y a un seul endroit où les choses peuvent véritablement être claires ce serait à coup sûr le domaine des mathématiques pures.

C’est en quelque sorte ce que Hilbert disait quand il proposait cet objectif de formalisation de toute la mathématiques pour en éliminer tous les problèmes.

Mais, c’était un programme et non quelque chose à faire à la va vite en un Week-end.

Hilbert proposait cela comme un objectif à atteindre pour mettre les mathématiques sur des fondations solides.

Lui et d’autres brillants collaborateurs comme un certain John Von Neumann se sont attachés à ce labeur un certain temps, une bonne trentaine d’année, et semblaient très encouragés dans cette voie.

Et puis il eut un tout petit pépin.

Le pépin c’est d’abord Kurt Gödel en 1931 et puis Alan Turing en 1936.

Kurt Gödel en 1931

Alan Turing en 1936

Ils ont simplement montré que la formalisation complète des mathématiques était impossible parce qu’il y avait des obstacles fondamentaux à cela. Rendre la mathématique transparente comme du cristal où toute chose serait ou Noire ou Blanche était absolument impossible.

Il faut se souvenir en effet que Hilbert avait réclamé une formalisation des mathématiques telle que n’importe qui sur la planète Terre puisse reconnaître si la preuve est soit correcte soit non-correcte.

Noir ou Blanc.

Les règles du jeu doivent être absolument explicites, il doit être utilisé un langage artificiel et les mathématiques doivent donner la vérité absolue.

C’est en tous cas ce qu’impliquait la proposition de Hilbert.

Gödel a choqué en montrant que cela ne marcherait pas en 1931.

Quant à Alan Turing il y est allé plus loin peut-être.

Résumons schématiquement ce qu’ils ont fait en commençant par Gödel.

Gödel part de la proposition « cette proposition est fausse » donc ce que je dis est un mensonge.

Si je suis un menteur et que c’est un mensonge je dis donc vrai !

Donc la proposition « cette proposition est fausse » est fausse si et seulement si elle est vraie et il y a donc un problème.

Gödel a en fait considéré la proposition « cette proposition est indémontrable ».

« cette proposition est indémontrable »

Ici indémontrable veut dire indémontrable à partir des axiomes du système axiomatique formel de Hilbert, indémontrable donc avec le système que Hilbert essaye de créer.

Maintenant pensons à une proposition qui dit qu’elle est improuvable.

Il y a deux possibilités : c’est démontrable ou ce n’est pas démontrable.

Supposons donc vraie la proposition ce n’est pas démontrable et qu’il y a donc moyen de le montrer avec le système de Hilbert.

Ceci demande beaucoup de perspicacité : Numérotation de Gödel, construction d’une proposition qui se réfère à elle-même indirectement, parce les pronoms cette ou je ne se trouvent pas directement dans les formules mathématiques .

Donc il y a deux possibilités ou c’est démontrable ou ce n’est pas démontrable. Au sens, donc, que Hilbert a proposé.

Si c’est démontrable, et la proposition dit qu’elle est non démontrable, nous avons prouvé quelque chose de faux .

Ce qui n’est pas très bien.

Et si c’est non démontrable et la proposition dit qu’elle est non démontrable donc elle a dit vrai , vrai que cela soit non démontrable, nous tombons dans un trou.

Au lieu de prouver quelque chose de faux nous avons l’incomplétude.

Nous avons une proposition vraie que notre système formel ne parvient pas à formaliser.

Alors donc ou bien nous sommes en train de prouver des assertions fausses ce qui serait terrifiant ou bien nous sommes en présence d’une chose moins satanique mais néanmoins inattendue, c’est que notre système formel est incomplet. Nous avons quelque chose de vraie mais nous ne pouvons pas le prouver dans notre système. Ainsi donc l’objectif de la formalisation une fois pour toute de toute la mathématique tombe à l’eau.


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