Badreddine Belhamissi                                                                                                          

Entre le certain et l’incertain, un siècle de controverses sur la fondation des Mathématiques (et de la physique) ou une petite histoire (un peu ) philosophique de l’ordinateur.

 

Résumé

Dans la Calculabilité la théorie des Nombres est le fer de lance du déterminisme et sert de référent [c’est en réalité en dernier ressort l’espace-nodal dans lequel on va immerger les problèmes]et par exemple, la preuve de l’existence de problèmes indécidables dans les systèmes formels (suffisamment complexes pour générer les entiers ) se ramène à la preuve de l’existence d’un problème indécidable en théorie des nombres moyennant la construction d’une isomorphie où les opérations sur les chaînes sont ramenés à des opérations sur les nombres et grâce à un raisonnement diagonal à la manière de Cantor

 G.J. CHAITIN:  [« Algorithmic information theory ». Cambridge University press. 1987.°] a montré que la théorie des Probabilité, fer de lance du non-déterminisme, peut aussi servir de référent aux problèmes de la Calculabilité. Ainsi le célèbre problème de l’arrêt d’une machine Turing est généralisé en terme de Probabilité d’arrêt d’une machine de Turing.

 A partir du concept de complexité introduit dans les années 1950 par Kolmogorov, [qui se trouve, par hasard , être aussi le concepteur-stabilisateur de la théorie des Probabilités] Chaïtin développe la notion d’ensembles compressibles et d’ensembles incompressibles qui le conduisent à la notion de programmes minimaux(au sens de Kolmogorov, qui n’oublions pas a introduit les K-complexes, en tant que machine équivalente à la machine de Turing, dès les années 1950 et a été publié pour la première fois en 1954 (en anglais),c’est USPENSKI, son continuateur qui développe son travail en calculabilité) et défini le nombre Oméga comme la probabilité d’arrêt d’une machine de Turing.

Chaïtin est probablement le premier chercheur à donner des résultats crédibles sur les renforcements (on pourrait aussi dire les aggravations) du théorème de Gödel, et montre que les choses sont pires que ce que le théorème de Gödel ou le théorème de Turing laissaient prévoir sur les systèmes formels. Oméga, la probabilité d’arrêt d’une machine de Turing s’avère être non seulement être un nombre transcendant mais encore plus difficile que tous les nombres transcendants que nous connaissons comme p ou e qui, eux au moins, ont la bonne idée de se laisser approcher par des algorithmes accélérables.

Les limitations des systèmes sont non seulement un question d’actualité réaliste de notre monde technologique mais aussi une caractéristique inhérente des systèmes abstraits. En n’hésitant pas à paraphraser Chaïtin nous proposons une lecture détendue et transhistorique de certains événement clés qui nous paraissent être à la source du changement et du devenir du concept que nous avons de la certitude et de la précision dans le monde des mathématiques, en tant que langage déclaré de cette certitude et de cette précision depuis un siècle, mais aussi dans la physique en tant qu’univers ultime de la réalité que décrit ce langage.

 

1. Métamathématique, vous avez dit ?

Et le langage peut-il se décrire lui-même ?

D’après Chaïtin, si on regarde un peu attentivement les écrits des logiciens du début du siècle à la lumière de notre expérience actuelle de l’utilisation intensive de l’ordinateur, on remarque que le lambda calcul d’Alonzo Church est une sorte de langage de programmation fonctionnelle, que le langage de Turing est une sorte de langage machine justement et que les écrits originaux de Gödel contiennent un formalisme qui ressemble furieusement à notre LISP actuel !

Mais, LISP n’est-ce pas ce bon vieux langage qu’a mis au point John McCarthy dans les années 1950 comme exemple de langage à sémantique opérationnelle implémentant les idées sur  récursivité des logiciens Italiens dignes élèves de Peano ?

Mais oui c’est bien ce curieux langage qu’on utilise encore et qui se laisse spécifier par lui-même !

Le formalisme pour décrire ou pour raisonner ?

On sait que le projet de Hilbert était de formaliser complètement la Mathématique et le raisonnement Mathématique.

           

Gödel et après lui Turing ont montré que cela n’était pas possible.

Mais cet échec de la formalisation du raisonnement a néanmoins été une réussite dans la formalisation des algorithmes, c’est la vraie mèche responsable de l’explosion Babelienne du foisonnement de la technologie actuelle des langages de programmation informatique.

Ce n’est peut-être pas complètement vrai, mais on peut dire que Turing a inventé l’ordinateur pour répondre à la question plutôt philosophique posée par Hilbert.

Il est par ailleurs scandaleusement comique de voir qu’une problématique rationnelle sur la notion de certitude philosophique ait débouché sur une course frénétique et jubilatoire aux supers méga gains dans le marché aux ordinateurs.

Ce que Gödel et Turing ont montré :

c’est que le raisonnement axiomatique formel possèdes limitations.

On ne peut formaliser le raisonnement axiomatique dans son entier.

 

Maintenant, nous devons à la vérité de dire qu’il y a toujours eu des crises dans l’histoire des Mathématiques.

Car la Mathématique, comme les autres domaines du monde abstrait d’ailleurs, évolue et se complexifie.

 

Les trous de Pythagore

Une des premières crises fut vécue par les Pythagoriciens quand ils ont dû constater que la racine de deux était irrationnelle. Cette longueur de la diagonale du carré unité, qui était donc un objet réel, ne pouvait pas s‘écrire comme fraction de deux entiers. A cette époque le monde des fractions représentait la totalité connue du mode numérique . Et l’intuition Pythagoricienne qu’à chaque objet réel il corresponde un nombre (et donc une fraction) [et même aussi une signification ]conduisait à concevoir la droite comme une juxtaposition de points représentants ces nombres. Or donc, la longueur de la diagonale du carré était à la fois dans droite mais en aucun point (i.e. fraction) connu ! On était dans un trou.

 Se peut-il qu’il existât d’autres nombres que les fractions, des irrationnels, en somme.

La droite de Pythagore était remplie de trous.

(L’histoire montrera que ces trous caractérisent plus fidèlement la droite réelle que les rationnels de Pythagore)

Le fait que c’était une crise justement a survécu actuellement dans le mot même d’irrationnel.

 Il faut se souvenir que les Grecs pensaient que la rationalité était l’objectif suprême.

Platon! la Raison ! Si donc un nombre était qualifié d’irrationnel, cela dit tout le trouble vécu à l’époque et on peut considérer que c’était l’équivalent du théorème de Gödel des anciens Grecs.

Il y eut d’autres convulsions mathématiques.

Par exemple, la crise du raisonnement infinitésimal de l’Analyse ou la crise du fameux postulat d’Euclide sur les parallèles et l’émergence des géomètries Non-euclidiennes.

 

Transfinis, Kézako ?

Mais la crise qui nous intéresse est née il y a un peu plus d’un siècle et est dûe au travail de Cantor sur la théorie des ensembles.

            Cantor : Théorie des Ensembles Infinis.

Déjà Euclide avait démontré que les nombres premiers étaient en nombre infini

Soit P le nombre premier supposé le plus grand.

// Soit Q le produit plus 1 de tous les nombres premiers inférieur ou égaux à P.

Q = 2.3.5.7....P + 1

//Aucun des nombres premiers n'est diviseur de Q; il reste toujours 1.

// Q est soit premier, ou produit de nombres premiers plus grands que P.

// Dans les deux cas, il existe un nombre premier plus grand que P.

// Donc il n'existe pas de nombre premier le plus grand.

// Ils sont en nombre infini.

Même très ancienne, cette démonstration reste aujourd'hui parmi les plus élégantes démonstration mathématiques.

 

En grec, l'infini se disait " apeiron ". Ce mot péjoratif désignait l'infini et l'indéfini. Le chaos originel s'appelait aussi

" apeiron "

Au 18^e siècle, Blaise Pascal  écrit, au sujet des deux infinis, l'infiniment petit et l'infiniment grand:

" ces extrémités se touchent et se réunissent à force de s'être éloignées, et se retrouvent en Dieu et en Dieu seulement. "

C’est 1700 que l’infini est dénoté pour la première fois et  apparaît sur une carte de tarot comme auréole du " Mage ".

Le symbole actuel qui n’est autre la lemniscate de Bernoulli stylisée (il représente un huit couché ou huit paresseux.

en mathématique, c'est une lemniscate dont on peut suivre le parcours indéfiniment (à rapprocher aussi du ruban de Möbius et de son parcours pareillement indéfini).) était déjà utilisé par les romains pour représenter 1000, puis un grand nombre.

En 1665, John Wallis, Professeur à Oxford, utilisa ce symbole pour désigner l'infini pour la première fois dans

" Arithmetica Infinitorum "

Mais, il ne fut généralisé qu'en 1713 grâce à son adoption par Bernoulli.

Au 19^e siècle, Bolzano est le premier à défendre l'idée que l'infini peut être introduit en calcul mathématique

 et dans le calcul infinitésimal en particulier.

Gauss y était opposé!

Formellement la notion d’infini s'impose en 1873 grâce aux travaux de Georg Cantor

                Le cardinal d’un ensemble est généralisé à la notion de puissance d’un ensemble dans le cas infini

Cantor montre que le nombre de points sur une droite est plus infini (transfini, disait-il) que l'infini des nombres entiers.

C'est la puissance du continu, dit-il.

Henri Poincaré n'adhérait pas à ce concept

La lettre cabalistique en hébreu est aleph (Ж ) qui sera utilisée par Cantor pour nommer les différents infinis mathématiques

L'infini implique plutôt un processus illimité que quelque chose " en acte ", pouvant être identifié.

Certains pensent que l'infini n'existe pas en tant que quantité, mais seulement que comme un potentiel:

une quantité qui peut toujours devenir plus grande ou plus petite sans que jamais ce devenir ne se transforme en être.

L'infini a-t-il une réalité, ou bien est-il une fiction utile au calcul comme le pensait Leibnitz?

Cantor donna une autre idée de l'infini:

le seul ensemble infini " en acte ", pouvant être équivalent à des parties de lui-même.

Par exemple, l'ensemble infini des nombres pairs est équivalent à l'ensemble infini des nombres entiers dans sa totalité.

               En 1873 Cantor prouve que l’ensemble des nombres rationnels est dénombrable (pouvant se mettre en correspondance biunivoque avec l’ensemble des Entiers),

 un an avant il avait montré suite aux travaux de son ami Dedekind que l’on pouvait définir les nombres irrationnels comme limites de séries convergentes de rationnels.

 Il montre aussi, que l’ ensemble des nombres algébriques, c’est à dire l’ensembles des nombres solutions des équations polynomiales à coefficients rationnels, est dénombrable.

En décembre1873 il montre que l’ensemble des nombres réels n’est pas dénombrable.

Un nombre transcendant est un nombre qui ne peut pas être solution d’une équation polynomiale à coefficient rationnels.

En 1851 Liouville avait établi l’existence de tels nombres.

Cantor venait donc de démontrer que presque tous les nombres réels étaient des nombres transcendants !

En 1874, à la question de Dedekind sur l’existence ou non, et Dedekind pensait que non, d’une correspondance biunivoque entre l’intervalle des nombres réels [0,1] et les points du carré unitaire fermé ([0,1]x[0,1]),

Cantor démontre l’existence d’une correspondance biunivoque entre les nombres réels de l’intervalle [0,1] et l’ensemble des points d’un espace à p dimensions.

Il écrit à son ami : « Je le vois, mais je n’y crois pas ! »

Il existe donc un certain nombre d'ensembles infinis équivalents.

Mais alors, pourquoi pas une infinité?

Une infinité d'ensembles infinis!

C'est un infini d'ordre 2.

Alors pourquoi pas l'ordre 3, puis 4, ou ... même, infini.

Ces ensembles d'ensembles infinis sont bien sûr en nombre infini.

On peut encore continuer comme ça...jusqu'à l'infini!

Ce serait alors, l'infini absolu, le vrai.

Le plus grand infini concevable.

Il est noté " w"

Donc Cantor était obsédé par la notion d’infini et peut-être pas seulement pour des raisons théologiques.

Cantor a eu l’idée d’ajouter à la suite infinie des Entiers, 1, 2, 3,. . .la dernière lettre de l’alphabet Grec oméga, w qui devenait le premier nombre après tous les nombres finis : c’était le premier nombre transfini.

On peut alors écrire

            1,2,3,…, w+1, w+2, w+3,….

Puis, on se dit pourquoi s’arrêter là, en effet on peut continuer 1,2,3,…, w, w+1, w+2, w+3,…jusqu’à 2w, 2w+1, 2w+2, 2w+3,… puis après 3w,…,4w,  jusqu’à donc w² .

            1,2,3,…, w+1, w+2, w+3,….2w 3w 4w …w²

On continue pour atteindre ,pourquoi pas 5w² 88w+2 ! On arrive alors au cube de w, puis à la puissance 4 puis 5 et fatalement à la puissance w, puis à la puissance w de la puissance w.

                1,2,3,…, w+1, w+2, w+3,….2w 3w 4w …w² w³w⁴…w^w  w^ww   

C’est enivrant ; après un moment on ne sait plus réellement ni où on est ni où on va.

Le nombre suivant est w élevé à la puissance w de façon indéfinie, ce qui donnerait

                                   w^{wwwwwwwwwwwww}

Ce nombre est la plus petite solution de l’équation

 

                                   x = w^x

Ce nombre est dénommé, on ne sait pas trop pourquoi, e₀ (Epsilon zéro).

Comme on le voit cette approche est d’une puissance imaginative fantastique et on ne sait plus si c’est vraiment encore tout à fait des mathématiques.

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